Lecture 3 - Extensions of Poisson Process⚓︎
Syllabus
- 非时齐 Poisson 过程
- 复合 Poisson 过程
- 条件 Poisson 过程
非时齐 Poisson 过程⚓︎
本小节放松平稳增量这一条件，也就是说过程的速率会依赖于时间，下面给出非时齐 Poisson 过程的定义
Definition 3.1 (非时齐 Poisson 过程)
若计数过程 \(\{N(t),t\geq0\}\) 满足：
(1) \(N( 0) = 0;\)
(2) 具有独立增量；
(3) \(P\{ N( t+ h) - N( t) = 1\} = \lambda ( t) h+ o( h)\), \(\lambda ( t) , t\geq 0\) 为连续函数
(4) \(P\{ N( t+ h) - N( t) \geq 2\} = o( h)\)
则称为具有强度函数 \(\lambda(t)\) 的非时齐 (Nonhomogeneous)Poisson 过程。
与标准 Poisson 过程一样，我们接下来考察 \(N(t)\) 的分布。
Proposition 3.2
设 \(\{N(t),t\geq0\}\) 为一个非时齐 Poisson 过程，记
\[m(t)=\int_0^t\lambda(s)ds\]
在区间 \([t+s]\) 中的事件数 \(N(t+s)-N(t)\) 服从均值为 \(m(t+s)-m(t)=\int_t^{t+s}\lambda(y)dy\) 的 Poisson 分布，即
\[P(N(t+s)-N(s)=n)=\exp\{-[m(t+s)-m(s)]\}\frac{[m(t+s)-m(s)]^n}{n!}.\]
Proof.
与定理 2.5 的证明想法类似。对给定的 \(t\),定义：
\[P_n(s)\triangleq P\{N(t+s)-N(t)=n\}\]
则有
\[
\begin{aligned}
P_{0}(s+h)=P\{N(t+s+h)-N(t)=0\}&=P\left\{(t,t+s)中有0个事件(t+s,t+s+h)中有0个事件\right\} \\
&=P\left\{(t,t+s)中有0个事件\right\}P\left\{(t+s,t+s+h)中有0个事件\right\}\\
&=P_0(s)[1-\lambda(t+s)h+o(h)],
\end{aligned}
\]
因此
\[\frac{P_0(s+h)-P_0(s)}h=-\lambda(t+s)P_0(s)+\frac{o(h)}h.\]
令 \(h\to0\),得到微分方程
\[P_0'(s)=-\lambda(t+s)P_0(s)\]